拉格朗日的中值定理(拉格朗日中值定理证明)

拉格朗日中值定理是什么？

拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。

拉格朗日的中值定理(拉格朗日中值定理证明)

拉格朗日的中值定理(拉格朗日中值定理证明)

拉格朗日的中值定理(拉格朗日中值定理证明)

如果函数f(x)在(a，b)上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)(b-a)=f(b)-f(a)

拉格朗日中值定理的定理意义？

几何意义：若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在1点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。

物理意义：对于直线运动，在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速度等于这个过程中的平均速度。

拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。法国数学家拉格朗日于1778年在其着作《解析函数论》的第六章提出了该定理，并进行了初步证明，因此人们将该定理命名为拉格朗日中值定理。

拉格朗日中值定理内容：

如果函数f(x)在(a，b)上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)(b-a)=f(b)-f(a)。

证明：

把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x。

做辅助函数G(x)=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a)。

易证明此函数在该区间满足条件:

1.g(a)=g(b)=0；

2.g(x)在[a,b]连续；

3.g(x)在(a,b)可导。

拉格朗日中值定理的内容是什么？

定理内容：

若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件:

(1)在[a,b]连续

(2)在(a,b)可导

则在(a,b)中至少存在一点f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) a

证明: 把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.

做辅助函数G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.

易证明此函数在该区间满足条件:

1.G(a)=G(b);

2.G(x)在[a,b]连续;

3.G(x)在(a,b)可导.

此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证

扩展资料：

定理表述

如果函数f(x)满足：

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)内可导；

那么在开区间(a,b)内至少有一点

使等式

成立。

其他形式记

,令

,则有

上式称为有限增量公式。

我们知道函数的微分

是函数的增量Δy的近似表达式，一般情况下只有当|Δx|很小的时候，dy和Δy之间的近似度才会提高；而有限增量公式却给出了当自变量x取得有限增量Δx（|Δx|不一定很小）时，函数增量Δy的准确表达式，这就是该公式的价值所在。

辅助函数法：

已知

在上连续，在开区间

内可导，构造辅助函数

可得

又因为

在上连续，在开区间

内可导，所以根据罗尔定理可得必有一点

使得

由此可得

变形得

定理证毕。

参考资料：

拉格朗日中值定理公式是怎么样的？

公式如下：

若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件：

1、在[a,b]连续

2、在(a,b)可导

则在(a,b)中至少存在一点f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) a

证明： 把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x、

做辅助函数G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}x、

易证明此函数在该区间满足条件：

1、G(a)=G(b);

2、G(x)在[a,b]连续;

3、G(x)在(a,b)可导、

此即罗尔定理条件，由罗尔定理条件即证。

扩展资料：

运动学意义

对于曲线运动在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速率等于这个过程中的平均速率。

拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。

拉格朗日中值定理是什么?

拉格朗日定理公式f（ζ）=（M-m）/（b-a）。

约瑟夫·拉格朗日是法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。

微积分中的拉格朗日定理即(拉格朗日中值定理)：

设函数f(x)满足条件:

(1)在闭区间[a，b]上连续。

(2)在开区间(a，b)可导。

则至少存在一点ε∈(a，b)，使得f(b) - f(a)=f'(ε)(b-a)或者f(b)=f(a) + f '(ε)(b - a)。

[证明:把定理里面的c换成x在不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x。做辅助函数G(x)=f(x)-{f(b)-f (a)]/(b-a)}x易证明此函数在该区间满足条件:G(a)=G(b)；G(x)在[a，b]连续；G(x)在(a，b)可导。此即罗尔定理条件，由罗尔定理条件即证]。

拉格朗日中值定理是什么？

定义

又称拉氏定理。

如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)(b-a)=f(b)-f(a)

令f(x)为y，所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)△x

(0<θ<1)

上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，因此本定理也叫有限增量定理。

定理内容

若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件:

(1)在[a,b]连续

(2)在(a,b)可导

则在(a,b)中至少存在一点f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)

a

使或f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)

成立，其中a

证明:

把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.

做辅助函数G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.

易证明此函数在该区间满足条件:

1.G(a)=G(b);

2.G(x)在[a,b]连续;

3.G(x)在(a,b)可导.

此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证

几何意义

若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在一点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行.

f(b)-f(a)=f‘(ζ)(b-a)

就是说一段定义域为[b,a]的连续函数，必存在一点ζ，f‘(ζ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)

拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广

拉格朗日中值定理的推广是柯西中值定理

若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件: (1)在[a,b]连续 (2)在(a,b)可导 则在(a,b)中至少存在一点c使f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) a

是指直角坐标系中一个光滑连续曲线上任意两点的纵坐标之与横坐标之的比值等于横坐标两点之间某一点的导数；相当于在曲线上任意两点间能找到一点，这点的切线与任意两点的连线平行。

如果函数f(x)满足 在闭区间[a,b]上连续； 在开区间(a,b)内可导， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ

叙述拉格朗日中值定理及其几何意义

拉格朗日中值定理又称拉氏定理，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。

拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。

定义：如果函数f(x)在[a,b]上处处可导，则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)(b-a)=f(b)-f(a)

拉格朗日中值定理的几何意义：如果连续曲线y＝f(x)的弧AB上除端点外处处具有不垂直于X轴的切线，那么这弧上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于弦AB。

拉格朗日介绍：

法国数学家。1754年开始研究数学，1766年接替了欧拉在柏林皇家科学院的职位，在那里工作达20年。1786年去法国，先后担任巴黎高等师范学校和多科工艺学校。他是18世纪仅次于欧拉的大数学家，工作涉及数论、代数方程论、微积分、微分方程、变分法、力学、天文学等许多领域。

的拉格朗日中值定理、拉格朗日余项、拉格朗日方程，对黎卡提方程的重要研究，对线性微分方程组的研究，对奇解与通解的联系的系统研究，都是这一时期的工作。他也是试图为微积分提供严格基础的数学家之一，这使他成为实变函数论的先驱。

他还以在数学上追求简明与严格而被誉为第1个真正的分析学家。曾评价说：“拉格朗日是数学科学方面高耸的金字塔。”

lagrange中值定理

lagrange中值定理如下：

如果函数f（x）满足：在闭区间[a，b]上连续；在开区间（a，b）内可导。那么在（a，b）内至少有一点ξ（a<ξ

f′（ξ）=（f（b）-f（a））/（b-a）或存在0<θ<1，使：f（b）-f（a）=f′（a+θ（b-a））（b-a）成立。f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）也称为拉格朗日中值公式，后面两个式子是其简单变种。

在曲线的两点间做一条割线，割线的斜率就是（f（b）-f（a））/（b-a）， f’（c）是与割线平行的一条切线，与曲线相切于c点，需要注意的是中值定理的前提条件。函数虽然是连续的，但在x=c点处不可导，中值定理要求函数在定义域范围内全部可导。

lagrange中值定理：

拉格朗日（Lagrange）中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。

人们对拉格朗日中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代。古希腊数学家在几何研究中得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”。这正是拉格朗日定理的特殊情况，古希腊数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论，求出抛物弓形的面积.。

法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》的第六章提出了该定理，并进行了初步证明，因此人们将该定理命名为拉格朗日中值定理。